[Toán] Chứng minh Fermat nhỏ bằng sơ cấp

Ta vốn biết các chứng minh liên quan đến nhóm cylic Z/n và phi hàm Euler. Nhưng với sơ cấp thì sao.
Fermat nhỏ được phát biểu như sau:

"Định lý nhỏ của Fermat khẳng định rằng nếu ${\displaystyle p}$ là một số nguyên tố, thì với số nguyên ${\displaystyle a}$ bất kỳ, ${\displaystyle a^{p}-a}$ sẽ chia hết cho ${\displaystyle p}$."

 Xuất phát từ khai triển của nhị thức Newton ta có

Dễ dàng thấy rằng nếu n nguyên tố  chia hết cho n (với mọi n). Vậy nên

Nên 

Sau a lần ta được